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3 paradoxes célèbres et leurs résolutions

Tout d'abord lorsqu'on analyse un phénomène ou un concept, le bon réflexe est de le définir. C'est pourquoi j'ai ouvert un dictionnaire et je suis allé voir la définition du mot paradoxe (en réalité je n'ai pas vraiment ouvert un dictionnaire, Larousse a un site web) et voilà la définition qu'on y trouve :

Être, chose ou fait qui paraissent défier la logique parce qu'ils présentent des aspects contradictoires.

En gros, c'est quelque chose qui nous donne l'impression de ne pas pouvoir exister dans notre univers à cause d'une contradiction avec les lois de la nature (prendre ici nature au sens large pas que les fleurs et les petits oiseaux), ou dans un sens plus large, un raisonnement ou un résultat qui est très très contre-intuitif.

Voici donc trois paradoxes célèbres que je vais tenter d'expliquer.

Le franc manquant

Trois touristes entrent dans un hôtel et louent une chambre. La réceptionniste leur demande 30 francs. Ils payent donc 10 francs chacun et se rendent dans la chambre. Quelques minutes plus tard, la réceptionniste se rend compte que la chambre coûtait en fait 25.-. Elle va donc rendre 5.- aux trois touristes. Comme ils ne veulent pas diviser 5 en trois, ils récupèrent chacun 1.- et la réceptionniste garde 2.- en pourboire (oui-oui, il sont sympas). Au final, chaque touriste aura dépensé 9.- (10 - 1), donc 27.- au total et la réceptionniste a gardé 2.-. On a donc 27 + 2 = 29, un franc a donc disparu de la circulation.

pièce de 1 franc suisse voici une pièce de 1 franc suisse, monnaie principalement utilisée en Suisse

Ce paradoxe repose en fait sur un sophisme. On construit un argumentaire qui parait juste et logique alors qu'il est complètement faux. Le calcul fait à la fin, additionner les dépenses totales et les ajouter à l'argent du pourboire de la réceptionniste n'a aucun sens. En fait, dans ce calcul, on compte les 2.- de la réceptionniste deux fois. Une fois dans la dépense effectuée par les touristes et une fois dans ce qu'a gagné la réceptionniste. Une bonne manière de penser serait par exemple la suivante :

Chaque homme a dépensé 9.- donc 27 au total, dans ces 27.-, 25 correspondent au prix de la chambre et 2 au pourboire. On a donc bien 25 + 2 = 27.

Et si vous vous demandez au sont passés les 3.- qui manquent pour obtenir les 30.- du prix de la chambre et bien ils ont simplement était dépensés mais rendu, donc c'est comme s'ils n'avaient jamais été dépensé (mais on pourrait les rajouter et les soustraire de chaque côté de l'équation si vraiment vous en avez besoin). En fait, le problème vient du fait qu'on mélange 2 transactions différentes, celle du payement de l'hôtel et du remboursement de la différence et celle du pourboire. Ca parait juste naturel à cause des échanges de valeur ronde car en effet, même s'il y a uniquement échange de valeur ronde, chaque touriste aura payé 2 tiers de franc (0.666666...) pour le pourboire ce qui semble étrange, mais qui est vrai.

Le paradoxe de Zénon

Zénon se relaxe tranquille dans une prairie. Il ramasse une pierre sur le sol et la lance en direction d'un arbre. Soudain, une pensée lui traverse l'esprit. Pour arriver jusqu'à l'arbre, la pierre devra d'abord parcourir la moitié de la distance totale, il lui restera donc ensuite à parcourir l'autre moitié. Mais pour parcourir le reste, il devra d'abord en parcourir la moitié. Et la moitié de la moitié restante, il devra également en parcourir la moitié et ainsi de suite. Comme on peut théoriquement diviser infiniment une longueur, la pierre ne devrait jamais atteindre l'arbre car elle devra parcourir une infinité de trajets. Pourtant, quelques secondes plus tard, Zénon entend bien le bruit significatif de la pierre heurtant l'arbre.

fraise J'ai pas trouvé de photo de Zénon, alors voici des fraises, ça n'a aucun rapport mais comme c'est le printemps on pourra bientôt en manger, et c'est bon !

Ce problème très connu a fait couler beaucoup d'encre par le passé. Mais il est assez facilement résoluble. Sa compréhension vient de la façon dont on appréhende l'infini. Dans un premier temps, regardons ce qu'il se passe mathématiquement. Quand on pose le problème, on se retrouve en face de la somme suivante :

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +... et ainsi de suite jusqu'à l'infini.

Cette série (en gros, une série est une somme infinie) est en fait égale à 1, ce qui montre que la somme de la moitié du parcours et de la moitié de la moitié et de la moitié de la moitié de la moitié etc... est égale au parcours entier. On voit déjà que mathématiquement, la pierre doit toucher l'arbre.

D'un point de vue intuitif, il est assez facile à comprendre cela. Plus on divise, plus le trajets à parcourir est court, donc plus on va le parcourir rapidement. Ainsi, vers la "fin" (je mets fin entre guillemet car il n'y a pas de fin vu qu'il y a une quantité infinie de trajets, ici "fin" signifie "très loin" ou "assez loin") les trajets seront tellement courts (proche de zéro) qu'ils seront parcourus en un temps extrêmement court (proche de zéro). En fait, on parcourt bien une infinité de trajets, mais en un temps fini.

Le paradoxe du fromage

Celui-ci est très simple, il s'agit d'un syllogisme tout ce qu'il y a de plus classique.

Plus il y a de fromage, plus il y a de trous. Plus il y a de trous, moins il y a de fromage. Donc plus il y a de fromage, moins il y a de fromage.

gruyère On retrouve souvent ce paradoxe sous le nom de paradoxe du gruyère, mais c'est complètement con, le gruyère n'a pas de trou. Par contre l'emmental en a, sissi. Ci-dessus donc une photo de gruyère, la photo de couverture de l'article c'est de l'emmental par contre. voilà voilà

La confusion vient du fait que le terme fromage est utilisé pour définir 2 concepts différents. Au début, dans l'énoncé Plus il y a de fromage, plus il y a de trous, fromage désigne l'objet, le morceau de fromage, les trous sont considérés comme en faisant partie. Alors que dans la phrase Plus il y a de trous moins il y a de fromage. fromage désigne une matière, le fromage dont est composé l'objet en lui-même, il ne désigne pas le tout mais uniquement une partie de l'objet, les trous en étant une autre partie. Le raisonnement est donc erroné.

Aller, à bientôt pour de nouvelles aventures ;)

A part ça, sur la sphère du net, vous pouvez retrouver 5 autres paradoxes intéressants sur le blog d'Axolot.


références :

les 4 paradoxes de Zénon d'Elée

la série mathématique de Zénon

mes cours de philo au collège (mais là c'est dans ma tête)

1 commentaire

je suis ton père

c'est paradoxale, c'est à la fois drôle et pas drôle en fait....

je suis ton père, le 19 mars 2017, 17h17

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